Родился 13 мая 1986 года в Москве.

В 2009 году окончил актёрский факультет Школы-студии имени Немировича-Данченко при МХТ имени Чехова (руководитель курса — Константин Аркадьевич Райкин).

В 2009 году за главную роль в фильме Юрия Кары «Гамлет. XXI век» получил приз фестиваля кино и театра «Амурская осень».

В 2013 году Месхи сыграл главную роль сериале «Сын отца народов», посвящённом судьбе Василия Сталина.

Всего в фильмографии Гелы Месхи более 25 работ в кино и 10 ролей в театре. Наиболее известные: «Собибор», «Волчье солнце», «Спасти Ленинград», «Лётчик».

В 2021 году принимал участие в проекте «Ледниковый период» в паре с фигуристкой Яной Хохловой.